markx 0.1.1

Markx is a simple markdown parser.
Documentation 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62

<!DOCTYPE html>
<html>

<head>
    <title>Welcome to MarkX</title>
    <link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/prismjs@1.25.0/themes/prism.min.css">
    <link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex@0.13.18/dist/katex.min.css"
        integrity="sha384-zTROYFVGOfTw7JV7KUu8udsvW2fx4lWOsCEDqhBreBwlHI4ioVRtmIvEThzJHGET" crossorigin="anonymous">

    <!-- The loading of KaTeX is deferred to speed up page rendering -->
    <script defer src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex@0.13.18/dist/katex.min.js"
        integrity="sha384-GxNFqL3r9uRJQhR+47eDxuPoNE7yLftQM8LcxzgS4HT73tp970WS/wV5p8UzCOmb"
        crossorigin="anonymous"></script>

    <!-- To automatically render math in text elements, include the auto-render extension: -->
    <script defer src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex@0.13.18/dist/contrib/auto-render.min.js"
        integrity="sha384-vZTG03m+2yp6N6BNi5iM4rW4oIwk5DfcNdFfxkk9ZWpDriOkXX8voJBFrAO7MpVl" crossorigin="anonymous"
        onload="renderMathInElement(document.body);"></script>
</head>

<body>
    <pre><code class="language-javascript">
        const hello = function(hi){
            console.log("hi");
        }
    </code></pre>

    <div class="md">
        <h1>曲面积分概念</h1><p>【问题】设一曲面 \(S\) 的面密度为连续函数 \(f(x,y,z)\)，求其质量 \(M\)。</p><p>【解决方案】利用极限思想解决的步骤如下：</p><p>1. 分割。把曲面 \(S\) 分割为 \(\Delta S_1,\Delta S_2,\dots,\Delta S_n\) \(n\) 个小块，每块的面积也用同样的符号表示。</p><p>2. 近似代替。用每块小面积上一点的密度 \(f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\) 代替整个小块的密度，计算质量 \(\Delta M_i=f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i\)</p><p>3. 求和。\(\underset{i}{\sum}\Delta M_i\)。</p><p>4. 求极限。\(M=\underset{\lambda\to0}{\lim} \underset{i}{\sum}\Delta M_i,\quad \lambda=\max\{\Delta S_i\}\)。</p><p>如果无论如何分割曲面以及无论如何选取 \((\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\)，上述极限存在且唯一，则称该极限为 \(f(x,y,z)\) 在曲面 \(S\) 上<strong>对面积的曲面积分</strong>，也称<strong>第一类曲面积分</strong>，记为：</p><p>\[\iint_S f(x,y,z)dS=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i
\]</p><p>其中，\(dS\) 称为面积元素。</p><h1>曲面面积的计算</h1><p>如果曲面的方程为 \(z=f(x,y)\)，则它的面积元素</p><p>\[dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2} d\sigma
\]</p><p>【例题】求抛物面 \(z=x^2+y^2, z\le 1\) 的面积。</p><p>【解】</p><p>\[S=\iint_SdS=\iint_{x^2+y^2\le 1}\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1\rho\sqrt{1+4\rho^2}d\rho=\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5}-1)
\]</p><h1>第二类曲面积分</h1><p>【问题】在电磁场中，通过面积 \(S\) 的磁通量 \(\varPhi\) 定义为该处磁感应强度的大小 \(B\) 与其在 \(S\) 法向的投影的乘积，即：\(\varPhi=\vec{B}\cdot \vec{S}\)。</p><p>如果磁通量的大小是与位置有关的函数，即 \(\vec{B}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}\)，利用极限的思想解决方案如下：</p><p>1. 分割。把曲面 \(S\) 分割为 \(\Delta S_1,\Delta S_2,\dots,\Delta S_n\) 的 \(n\) 个小块，每块的面积也用同样的符号表示。</p><p>2. 近似代替。用每块小面积上一点的磁感应强度 \(\vec{B}(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\) 代替整个小块的磁感应强度，并用单位向量 \(\vec{e}_n(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\) 表示这一小块面积的法向，计算磁通量 \(\Delta \varPhi_i=\vec{B}(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\cdot\vec{e}_n(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i\)</p><p>3. 求和。\(\underset{i}{\sum}\Delta \varPhi_i\)。</p><p>4. 求极限。\(\varPhi=\underset{\lambda\to0}{\lim} \underset{i}{\sum}\Delta \varPhi_i=\underset{\lambda\to0}{\lim} \underset{i}{\sum}\vec{B}(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\cdot\vec{e}_n(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i,\quad \lambda=\max\{\Delta S_i\}\)。</p><p>上式其实为 \(\vec{B}(x,y,z)\cdot\vec{e}_n(x,y,z)\) 的第一类曲面积分:</p><p>\[\iint_S\vec{B}(x,y,z)\cdot d\vec{S}=\iint_S\vec{B}(x,y,z)\cdot\vec{e}_n(x,y,z)dS
\]</p><p>把 \(\iint_S\vec{B}(x,y,z)\cdot d\vec{S}\) 称为向量函数 \(\vec{B}(x,y,z)\) 的<strong>第二类曲面积分</strong>。</p><h1>对坐标的曲面积分</h1><p>把 \(\vec{e}_n(x,y,z)\) 写成 \(\cos\alpha\vec{i}+\cos\beta\vec{j}+\cos\gamma\vec{k}\) 的形式，则：</p><p>\[d\vec{S}=(\cos\alpha\vec{i}+\cos\beta\vec{j}+\cos\gamma\vec{k})dS=dydz\vec{i}+dxdz\vec{j}+dxdy\vec{k}
\]</p><p>因此：</p><p>\[\begin{align}
\iint_S\vec{B}(x,y,z)\cdot d\vec{S}
&=\iint_SP(x,y,z)dydz+\iint_SQ(x,y,z)dxdz+\iint_SR(x,y,z)dxdy\\
&=:\iint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy
\end{align}
\]</p><p>上式称为<strong>对坐标的曲面积分</strong>。</p><h1>对坐标的曲面积分的计算</h1><p>如果曲面 \(S\) 的方程可以表示为 \(z=z(z,y),(x,y)\in D_{xy}\)，\(D(x,y)\) 为 \(S\) 在 \(xOy\) 上的投影，则：</p><p>\[\iint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy\\
=\pm\iint_{D_{xy}}\bigg(P(x,y,z(x,y))(-z_x)+Q(x,y,z(x,y))(-z_y)+R(x,y,z(x,y))\bigg)dxdy
\]</p><p>上式关于 \(\pm\) 的取法：当曲面法向向上时取 \(+\)，向下时取 \(-\)。</p><p>【证明】曲面的一个单位法向量为：</p><p>\[\vec{e}_n=\pm\frac{1}{\sqrt{1+(-z_x)^2+(-z_y)^2}}(-z_x,-z_y,1)
\]</p><p>而</p><p>\[dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy
\]</p><p>代入第二类曲面积分式即可。</p><p>【例题】计算 \(I=\iint_Sz^2dxdy\)，其中 \(S\) 为球面 \(x^2+y^2+z^2=R^2\) 外侧在第一卦限的部分。</p><p>【解】</p><p>将 \(S\) 向 \(xOy\) 面投影计算比较方便。此时 \(z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}，D_{xy}=\{(x,y)\big|x^2+y^2=R^2,x\ge0,y\ge0\}\)</p><p>从而：</p><p>\[\begin{align}
I=\iint_Sz^2dxdy
&=\iint_{D_{xy}}(R^2-x^2-y^2)dxdy\\
&=\iint_{D_{xy}}(R^2-\rho^2)\rho d\rho d\theta\\
&=\int_0^\frac{\pi}{2}d\theta\int_0^R(R^2-\rho^2)\rho d\rho\\
&=\frac{\pi}{8}R^4
\end{align}
\]</p><h1>高斯公式</h1><p>设 \(\partial V\) 为 有界闭区域 \(V\) 的边界曲面外侧，则：</p><p>\[\oiint_{\partial V}Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=\iiint_V\bigg( \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\bigg)dxdydz
\]</p><h1>斯托克斯公式</h1><p>\[\oint_{\partial S} Pdx+Qdy+Rdz=
\iint_S(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz
+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx
+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy
\]</p>
    </div>
</body>
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/prismjs@1.25.0/prism.min.js"></script>
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/prismjs@1.25.0/plugins/autoloader/prism-autoloader.min.js"></script>
</script>

</html>