Module conductivity

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Calculation of linear and nonlinear conductivity tensors using Kubo formalism.

This module implements various conductivity calculations including:

Anomalous Hall conductivity
Spin Hall conductivity
Nonlinear Hall conductivity
Berry curvature and orbital magnetization

The implementations are based on the Kubo formula and semiclassical wave-packet dynamics, providing both intrinsic and extrinsic contributions to transport.

§Niu qian 方程推导非线性霍尔效应

以下是用niuqian 方程来推导各阶线性和非线性霍尔效应的公式过程出发点是如下公式 $$\bm J=-e\int_\tx{BZ}\dd\bm k\sum_n f_n\bm v_n$$ 这里 n 表示能带, 而 $f_n$ 是feimi-dirac distribution. 这里速度算符的定义按照 niuqian 老师的定义为 $$\bm v=\f{1}{\hbar}\f{\p\ve_n}{\p\bm k}-\f{e}{\hbar}\bm E\times\bm\Og_n$$ 我们设第 $n$ 阶霍尔电导的定义为 $$\sg_{\ap_1,\ap_2,\cdots,\ap_n;d}=\f{1}{n!}\left.\f{\p^n J_d}{\p E_{\ap_1}\cdots\p E_{\ap_n}}\right\vert_{\bm E=0}$$ 为了得到其表达式, 我们定义级数展开 $$\lt\{\begin{aligned} f_n=f_n^{(0)}+f_n^{(1)}+f_n^{(2)}\cdots\\ \bm v_n=\bm v_n^{(0)}+\bm v_n^{(1)}+\bm v_n^{(2)}\cdots\\ \end{aligned}\rt.$$ 这样我们有 $$ \begin{aligned}\bm J^{(0)}&=-e\int_\tx{BZ}\dd\bm k\sum_n f_n^{(0)}\bm v_n^{(0)}\\ \bm J^{(1)}&=-e\int_\tx{BZ}\dd\bm k\sum_n f_n^{(1)}\bm v_n^{(0)}+f_n^{(0)}\bm v_n^{(1)}\\ \bm J^{(2)}&=-e\int_\tx{BZ}\dd\bm k\sum_n f_n^{(2)}\bm v_n^{(0)}+f_n^{(1)}\bm v_n^{(1)}+f_n^{(0)}\bm v_n^{(2)}\\ \end{aligned}$$ 接下来我们考虑 $f$ 的各阶修正. 利用玻尔兹曼方程, 我们有 $$\p_t f-\f{e}{\hbar}\bm E\cdot\nb_{\bm k} f=-\f{f-f_0}{\tau}$$ 令 $f=\sum_{s=1}e^{is\og t} f_n^{(s)}$, 我们有 $$\begin{aligned} is\og\sum_{s=1}f_n^{(s)}-\f{e}{\hbar}\bm E\cdot\nb_{\bm k}\sum_{s=0} f_n^{(s)}=-\f{1}{\tau}\sum_{s=1} f_n^{(s)}\\ \Rightarrow (is\og+\f{1}{\tau})\sum_{s=1} f_n^{(i)}-\f{e}{\hbar}\bm E\cdot\nb_{\bm k}\sum_{i=0} f_n^{(i)}=0\\ \end{aligned}$$ 最终, 我们能够得到高阶的费米分布, 为 $$f_n^{(l)}=\f{e}{\hbar} \f{\bm E\nb_{\bm k} f_n^{(l-1)}}{i l \og+1/\tau}=\lt(\f{e/\hbar}{i\og+1/\tau}\rt)\bm E^l\nb^l_{\bm k} f_n^{(0)}$$ 取零频极限, 我们有 $$\lim_{\og\to 0} f_n^{(l)}\approx \lt(\f{e\tau}{\hbar}\rt)^l \bm E^l\nb^l_{\bm k} f_n^{(0)}$$ 关于费米速度 $\bm v_n=\f{1}{\hbar}\pdv{\ve_n}{\bm k}+\f{e}{\hbar}\bm E\times\bm \Og_n$, 我们可以定义各阶展开 $$\begin{aligned} \bm v_n^{(0)}&=\f{1}{\hbar}\pdv{\ve_n^{(0)}}{\bm k}\\ \bm v_n^{(1)}&=\f{1}{\hbar}\pdv{\ve_n^{(1)}}{\bm k}+\f{e}{\hbar}\bm E\times\bm \Og_n^{(0)}\\ \bm v_n^{(2)}&=\f{1}{\hbar}\pdv{\ve_n^{(2)}}{\bm k}+\f{e}{\hbar}\bm E\times\bm \Og_n^{(1)}\\ \end{aligned}$$ 对于接下来我们的出发点是电场下的哈密顿量 $$H_{\bm k}=\sum_{mn}\lt(\ve_n^{(0)}\dt_{nm}-e\bm E\cdot\bra{\psi_n}\bm r\ket{\psi_n}\rt)\ket{\psi_n}\bra{\psi_m}$$ 我们将其拆成两部分, 对角部分和非对角部分 $$\begin{aligned} H_{\bm k}^{(0)}&=\sum_{n}\lt(\ve_{n\bm k}^{(0)}-e\bm E\cdot\bm A_n\rt)\dyad{\psi_n}\\ H_{\bm k}^{(1)}&=\sum_{n=\not m}\lt(-e\bm E\cdot\bm A_{mn}\rt)\ket{\psi_m}\bra{\psi_n}\\ \end{aligned}$$ 这里 $\bm A_{mn}=\bra{\psi_m}\bm r\ket{\psi_n}=i\bra{\psi_m}\p_{\bm k}\ket{\psi_n}$ 显然, 我们知道公式 $$e^{\hat S}\hat{\mathcal{O}}e^{-\hat S}=\mathcal{O}+\lt[\hat S,\hat{\mcl{O}}\rt]+\f{1}{2}\lt[\hat S,\lt[\hat S,\hat{\mcl{O}}\rt]\rt]+\f{1}{6}\lt[\hat S,\lt[\hat S,\lt[\hat S,\hat{\mcl{O}}\rt]\rt]\rt]\cdots$$ 为了方便计算, 我们可以选择一个 $\hat S$, 让 $H_{\bm k}^{(1)}+\lt[\hat S,\hat H_{\bm k}^{(0)}\rt]=0$, 我们有 $$\begin{aligned} H^\prime_{\bm k}&=e^{\hat S}H_{\bm k} e^{-\hat S}=H_{\bm k}^{(0)}+\lt(H_{\bm k}^{(1)}+\lt[\hat S,\hat H_{\bm k}^{(0)}\rt]\rt)+\lt(\lt[\hat S,\hat H_{\bm k}^{(1)}\rt]+\f{1}{2}\lt[\hat S,\lt[\hat S,\hat H_{\bm k}^{(0)}\rt]\rt]\rt)\cdots\\ &=H_{\bm k}^{(0)}+\f{1}{2}\lt[S,H_{\bm k}^{(1)}\rt]+\f{1}{3}\lt[S,\lt[S,H_{\bm k}^{(1)}\rt]\rt]\cdots \end{aligned}$$ 为了满足条件, 我们选择 $$S_{nn}=0,\ S_{nm}=\f{-e\bm E\cdot \bm A_{nm}}{\ve_{nm}-e\bm E\cdot \bm A_{nm}}$$ 因为我们有 $$\begin{aligned} \lt[S,H_{\bm k}^{(0)}\rt]&=SH_{\bm k}^{(0)}-H_{\bm k}^{(0)}S=\sum_{j=\not m} S_{mj}H_{\bm k,jn}^{(0)}-\sum_{j=\not n }H_{\bm k,mj}^{(0)}S_{jn}\\ &=\sum_{j=\not m}\f{-e\bm E\cdot \bm A_{mj}\lt(\ve_j^{(0)}-e\bm E\cdot\bm A_j\rt)\dt_{jn}}{\ve_{mj}-e\bm E\cdot\lt(\bm A_m-\bm A_j\rt)}-\sum_{j=\not n}\f{-e\lt(\ve_j^{(0)}-e\bm E\cdot\bm A_j\rt)\lt(\bm E\cdot \bm A_{jn}\rt)\dt_{mj}}{\ve_{jn}-e\bm E\cdot\lt(\bm A_j-\bm A_n\rt)}\\ &=\f{e\lt(\bm E\cdot\bm A_{mn}\rt)\lt[\ve_{mn}- e\bm E\cdot\lt(\bm A_m-\bm A_n\rt)\rt]}{\ve_{mn}-e\bm E\cdot(\bm A_m-\bm A_n)}=-H_{\bm k}^{(1)} \end{aligned}$$ 这样我们就验证了我们的结果, 我们将 $\hat S$ 进行化简和展开有 $$S_{nm}\approx \f{-e\bm E\cdot\bm A_{nm}}{\ve_n^{(0)}-\ve_m^{(0)}}-\f{ e^2\lt(\bm E\cdot\bm A_{nm}\rt)\lt(\bm E\cdot\lt(\bm A_n-\bm A_m\rt)\rt)}{\lt(\ve_n^{(0)}-\ve_m^{(0)}\rt)^2}$$ 这样我们就能得到能带的各阶扰动 $$\begin{aligned} \ve_n^{(1)}&=-e\bm E\cdot\bm A_n\\ \ve_n^{(2)}&=\f{e^2}{2}E_a E_b \sum_{m=\not n}\f{A_{nm}^a A_{mn}^b+A_{mn}^a A_{nm}^b}{\ve_n-\ve_m}=e^2 G_n^{ab}E_a E_b\\ \ve_n^{(3)}&=-e^3E_a E_b E_c \lt( \sum_{m=\not n}\sum_{l=\not m,n}\f{A_{nl}^a A_{lm}^b A_{mn}^c}{(\ve_n-\ve_m)(\ve_n-\ve_l)}\rt)+e^3 E_a E_b E_c\lt( \sum_{m=\not n}\sum_{l=\not m,n}\f{A_{nm}^a A_{mn}^b (A_n^c-A_m^c)}{(\ve_n-\ve_m)^2}\rt)\\ \end{aligned}$$ 这里 $$G_n^{ab}=\sum_{m=\not n}\f{A_{nm}^a A_{mn}^b+A_{mn}^a A_{nm}^b}{\ve_n-\ve_m}=\sum_{m=\not n} 2\tx{Re}\f{v_{nm}^a v_{mn}^b}{(\ve_n-\ve_m)^3}$$ 到这里, 我们将能带的扰动得到了. 但是有一个问题, 就是 $\bm A$ 是一个规范变换, 所以并不是唯一的, 同时, 对于带内的贡献 $\bm A_{n}=i\bra{\psi_{n\bm k}}\p_{\bm k}\ket{\psi_{n\bm k}}$, 没有好的求解方法,因为 $\bm A=-e\bra{\psi_n}\bm r\ket{\psi_n}$ 破坏了平移对称性. 但是我们总是可以选择一个规范. 在这里我们选择 $-e\bm E\cdot\bm A_n=0$, 这个规范令 $\ve_n^{(1)}=0$. 这种规范在物理的意义上, 可以理解为贝利联络和电场的方向垂直. 对于贝利曲率的高阶项, 利用 $\bm A\to\bm A^\prime=A+\lt[\hat S,\bm A\rt]+\f{1}{2}\lt[\hat S,\lt[\hat S,\bm A\rt]\rt]\cdots$, 我们有 $$\begin{aligned} \lt(A_n^b\rt)^{(1)}&=-e\bm E_a G_n^{ab}\\ \lt(A_n^c\rt)^{(2)}&=e^2 E_a E_b \lt( \sum_{m=\not n}\sum_{l=\not m,n}\f{A_{nl}^a A_{lm}^b A_{mn}^c}{(\ve_n-\ve_m)(\ve_n-\ve_l)}\rt)+e^2 E_a E_b\lt( \sum_{m=\not n}\f{A_{nm}^a A_{mn}^b (A_n^c-A_m^c)}{(\ve_n-\ve_m)^2}\rt)\\ &=e^2 E_a E_b\lt(S_n^{abc}-F_n^{abc}\rt) \end{aligned}$$ 这样利用贝利曲率公式 $\Og_n^{ab}=\p_a A_n^b -\p_b A_n^a$ 我们有 $$\begin{aligned} \lt(\Og_n^{ab}\rt)^{(1)}&=-e E_c\lt(\p_a G_n^{bc}-\p_b G_n^{ac}\rt)\\ \lt(\Og_n^{ab}\rt)^{(2)}&=e^2 E_{\ap}E_{\bt}\lt(\p_a S^{\ap\bt b}-\p_b S^{\ap\bt a}-\p_a F^{\ap\bt b}+\p_b F^{\ap\bt a}\rt) \end{aligned}$$ 最终我们带入到电导率公式中, 有 $$\begin{aligned} \sigma_{ab}=&-\f{e^2}{\hbar}\int_\tx{BZ} \f{\dd\bm k}{(2\pi)^3}\sum_n f_n\Og_n^{ab}+\f{e^2\tau}{\hbar^2}\sum_n \int_\tx{BZ}\f{\dd\bm k}{(2\pi)^3}\f{\p^2\ve_n}{\p k_a\p k_b}\\ \sigma_{abc}=&-\f{e^3\tau^2}{\hbar^3}\sum_n\int_\tx{BZ}\f{\dd\bm k}{(2\pi)^3}\f{\p^3\ve_n}{\p k_a \p k_b \p k_c} +\f{e^3\tau}{\hbar^2}\sum_n \int_\tx{BZ}\f{\dd\bm k}{(2\pi)^3} \f{1}{2} f_n \lt(\p_a\Og_n^{bc}+\p_b\Og_n^{ac}\rt)\\ &-\f{e^3}{\hbar}\sum_n\int_\tx{BZ}\f{\dd\bm k}{(2\pi)^3} f_n\lt(2\p_c G_n^{ab}-\f{1}{2}\lt(\p_a G_n^{bc}+\p_b G_n^{ac}\rt)\rt) \end{aligned}$$

§Berry connection 的化简

为了实际的计算, 我们需要将 Berry connection 的形式修改一下, 我们首先按照微分的定理有 $$\p_{\bm k}\lt(H_{\bm k}\ket{\psi_{n\bm k}}\rt)=\lt(\p_{\bm k}H_{\bm k}+H_{\bm k}\p_{\bm k}\rt)\ket{\psi_{n\bm k}}$$ 然后我们又因为 $H_{\bm k}\ket{\psi_{n\bm k}}=\ve_{n\bm k}\ket{\psi_{n\bm k}}$, 所以 $$\p_{\bm k}\lt(H_{\bm k}\ket{\psi_{n\bm k}}\rt)=\p_{\bm k}\ve_{n\bm k}\ket{\psi_{n\bm k}}+\ve_{n\bm k}\p_{\bm k}\ket{\psi_{n\bm k}}$$ 所以我们有 $$\begin{aligned} \p_{\bm k}H_{\bm k}\ket{\psi_{n\bm k}}+H_{\bm k}\p_{\bm k}\ket{\psi_{n\bm k}}=\p_{\bm k}\ve_{n\bm k}\ket{\psi_{n\bm k}}+\ve_{n\bm k}\p_{\bm k}\ket{\psi_{n\bm k}} \end{aligned}$$ 显然我们将上式等号两边的左侧插入一个完备算符 $\sum_m \dyad{\psi_{m\bm k}}$ 有 $$\sum_m\lt[\bra{\psi_{m\bm k}}\p_{\bm k}H_{\bm k}\ket{\psi_{n\bm k}}+\lt(\ve_{m\bm k}-\ve_{n\bm k}\rt)\bra{\psi_{m\bm k}}\p_{\bm k}\ket{\psi_{n\bm k}}\rt]\ket{\psi_{m\bm k}}=\bra{\psi_{n\bm k}}\p_{\bm k}\ket{\psi_{n\bm k}}\ket{\psi_{n\bm k}} $$ 根据上面的式子, 我们很容易得到当 $m=\not n$ 时 $$\bra{\psi_{m\bm k}}\p_{\bm k}\ket{\psi_{n\bm k}}=\f{\bra{\psi_{m\bm k}}\p_{\bm k}\ket{\psi_{n\bm k}}}{\ve_{n\bm k}-\ve_{m\bm k}}$$ 也就是说, 我们能够最终得到 $$\bm A_{mn}=i\f{\bra{\psi_{m\bm k}}\p_{\bm k}\ket{\psi_{n\bm k}}}{\ve_{n\bm k}-\ve_{m\bm k}}$$

Functions§

adapted_integrate_quick: 这个函数是用来做自适应积分算法的